Вспомогательная матрица. Действия над матрицами

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .

Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.

Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).

Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).

Определим основные операции над матрицами .

Сложение матриц

Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле

. Обозначается C = A+B.

Пример 6 . .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.

Вычитание матриц

Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.

Умножение матриц

Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .
Определение . Пусть даны две матрицы

и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле

.
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении:

Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .

Пример 7 . Даны матрицы и . Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение. Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.

Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).

Пример 8 . Дана матрица . Найти 3A 2 – 2A.
Решение.

.
; .
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Матрица обозначается заглавными латинскими буквами (А , В , С,. ..).

Определение 1 . Прямоугольная таблица вида ,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей .

Элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Виды матриц:

элементов, стоящих на главной диагонали:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Определители 2, 3 и n-го порядка

Пусть даны две квадратные матрицы:

Определение 1 . Определителем второго порядка матрицы А 1 называется число, обозначаемое ∆ и равное , где

Пример . Вычислить определитель 2-го порядка:

Определение 2 . Определителем 3-го порядка квадратной матрицы А 2 называется число вида:

Это один из способов вычисления определителя.

Пример. Вычислить

Определение 3 . Если определитель состоит из n-строк и n-столбцов, то он называется определителем n-го порядка.

Свойства определителей:

Определитель не меняется при транспонировании (т.е. если в нем строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка следования).

Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два столбца, то определитель изменит только знак.

Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух строк равны или пропорциональны.

Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример.

Определение 4. Определитель, полученный из данного путем вычеркивания столбца и строки, называется минором соответствующего элемента. М ij элемента a ij .

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента а ij , называется выражение

§3. Действия над матрицами

Линейные операции

1)При сложении матриц складываются их одноименные элементы.

При вычитании матриц вычитаются их одноименные элементы.

При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число:

3.2.Умножение матриц.

Произведение матрицы А на матрицу В есть новая матрица , элементы которой равны сумме произведений элементовi-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В . Произведение матрицы А на матрицу В можно находить только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В противном случае, произведение невозможно.

Замечание:

(не подчиняется свойству коммутативности)

§ 4. Обратная матрица

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, причем матрица должна быть невырожденной.

Определение 1. Матрица А называется невырожденной , если определитель этой матрицы не равен нулю

Определение 2. А -1 называется обратной матрицей для данной невырожденной квадратной матрицы А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так слева получается единичная матрица.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1 способ (с помощью алгебраических дополнений)

Пример 1:

Опр . Прямоугольная таблица, состоящая из т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей размера т×п . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют круглыми или квадратными скобками.

Числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы и обозначаются малыми латинскими буквами с двойным индексом , гдеi – номер строки, j – номер столбца, на пресечении которых расположен элемент. В общем виде матрица записывается так:

Две матрицы считаются равными , если равны их соответствующие элементы.

Если число строк матрицы т равно числу ее столбцов п , то матрица называется квадратной (в противном случае – прямоугольной).

Матрица размера
называется матрицей-строкой. Матрица размера

называется матрицей-столбцом.

Элементы матрицы, имеющие равные индексы (
и т.д.), образуютглавную диагональ матрицы. Другая диагональ называется побочной.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и имеет стандартное обозначение Е:

Если все элементы матрицы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, говорят, что матрица имеет треугольный вид:

§2. Операции над матрицами

1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:

2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:

3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:

4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.

Следствие . Возведение матрицы в степень к >1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.

Пример .

Свойства операций над матрицами.

(А+В)+С=А+(В+С);
к(А+В)=кА+кВ;
А(В+С)=АВ+АС;
(А+В)С=АС+ВС;
к(АВ)=(кА)В=А(кВ);
А(ВС)=(АВ)С;
(кА) Т =кА Т;
(А+В) Т =А Т +В Т;
(АВ) Т =В Т А Т;

Перечисленные выше свойства аналогичны свойствам операций над числами. Есть и специфические свойства матриц. К ним относится, например, отличительное свойство умножения матриц. Если произведение АВ существует, то произведение ВА

Может не существовать

Может отличаться от АВ.

Пример . Предприятие выпускает продукцию двух видов А и В и использует при этом сырье трех типов S 1 , S 2 , и S 3 . Нормы расхода сырья заданы матрицей N=
, гдеn ij – количество сырья j , расходуемого на производство единицы продукции i . План выпуска продукции задан матрицей С=(100 200), а стоимость единицы каждого вида сырья – матрицей . Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты сырья определим как произведение матриц С и N:

Общую стоимость сырья вычислим как произведение S и Р.

Матрицей размерности называется таблица чисел , содержащая строк и столбцов. Числа называются элементами этой матрицы, где – номер строки, – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Матрица, содержащая строк и столбцов, имеет вид: .

Виды матриц:

1) при – квадратная , причем называют порядком матрицы ;

2) квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю

– диагональная ;

3) диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны

единице – единичная и обозначается ;

4) при – прямоугольная ;

5) при – матрица-строка (вектор-строка);

6) при – матрица-столбец (вектор-столбец);

7) при всех – нулевая матрица.

Заметим, что основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определитель, соответствующий матрице -го порядка, также имеет -ый порядок.

Определителем матрицы 1-го порядка называется число .

Определителем матрицы 2-го порядка называется число . (1.1)

Определителем матрицы 3-го порядка называется число . (1.2)

Приведем необходимые для дальнейшего изложения определения.

Минором М ij элемента а ij матрицы n- гопорядка А называется определитель матрицы (n-1)- гопорядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы n - гопорядка А называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков и упрощающие их вычисление.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две пропорциональные (равные) строки (столбца), равен нулю.

4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

7. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Поясним данное свойство на примере определителя 3-го порядка. В данном случае свойство 7 означает, что – разложение определителя по элементам 1-ой строки. Заметим, что для разложения выбирают ту строку (столбец), где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении обращаются в ноль.

Свойство 7 представляет собой теорему о разложении определителя, сформулированную Лапласом.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

Последнее свойство часто называют псевдоразложением определителя.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется матрицей?

2. Какая матрица называется квадратной? Что понимается под ее порядком?

3. Какая матрица называется диагональной, единичной?

4. Какая матрица называется матрицей-строкой и матрицей-столбцом?

5. Что является основной числовой характеристикой квадратной матрицы?

6. Какое число называется определителем 1-го, 2-го и 3-го порядка?

7. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента матрицы?

8. Каковы основные свойства определителей?

9. С помощью какого свойства можно вычислить определитель любого порядка?

Действия над матрицами (схема 2)

На множестве матриц определен ряд операций, основными среди которых являются следующие:

1) транспонирование – замена строк матрицы на столбцы, а столбцов на строки;

2) умножение матрицы на число производится поэлементно, то есть , где , ;

3) сложение матриц, определенное только для матриц одной размерности;

4) умножение двух матриц, определенное только для согласованных матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется такая результирующая матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Две матрицы называются согласованными , если количество столбцов первой из них равно количеству строк другой. Произведением двух согласованных матриц и называется такая результирующая матрица , что , (1.4)

где , . Отсюда следует, что элемент -ой строки и -го столбца матрицы равен сумме попарных произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы .

Произведение матриц не коммутативно, то есть А . В В . А. Исключение составляет, например, произведение квадратных матриц на единичную А . Е = Е . А.

Пример 1.1. Перемножить матрицы A и B, если:

Решение. Так как матрицы согласованные (количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы ), то воспользуемся формулой (1.4):

Вопросы для самопроверки.

1. Какие действия осуществляются над матрицами?

2. Что называется суммой (разностью) двух матриц?

3. Что называется произведением двух матриц?

Метод Крамера решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (схема 3)

Дадим ряд необходимых определений.

Система линейных уравнений называется неоднородной , если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной , если все ее свободные члены равны нулю.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она решений не имеет.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

Рассмотрим неоднородную квадратную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую следующий общий вид:

. (1.5) Главной матрицей системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных: .

Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается .

Вспомогательный определитель получается из главного определителя путем замены -го столбца на столбец свободных членов.

Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель квадратной системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Если главный определитель , то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей)

В свете приведенных выше определений теорема Крамера может быть сформулирована иначе: если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система является совместной определенной и при этом ; если главный определитель нулевой, то система является либо совместной неопределенной (при всех ), либо несовместной (при отличии хотя бы одного из от нуля).

После этого следует провести проверку полученного решения.

Пример 1.2. Решить систему методом Крамера

Решение. Так как главный определитель системы

отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители

Воспользуемся формулами Крамера (1.6): , ,

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется решением системы уравнений?

2. Какая система уравнений называется совместной, несовместной?

3. Какая система уравнений называется определенной, неопределенной?

4. Какая матрица системы уравнений называется главной?

5. Как вычислить вспомогательные определители системы линейных алгебраических уравнений?

6. В чем состоит суть метода Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений?

7. Какой может быть система линейных алгебраических уравнений, если ее главный определитель равен нулю?

Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы (схема 4)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной ; имеющая определитель равный нулю – вырожденной .

Матрица называется обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть . (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц и коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Если главная матрица невырожденная, то есть определитель 0, то для нее можно найти обратную матрицу по следующему алгоритму.

1. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

2. Выписать найденные алгебраические дополнения в матрицу транспонированно.

3. Составить обратную матрицу по формуле: (1.8)

4. Сделать проверку правильности найденной матрицы А-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: , где – главная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу , получим:

Так как по определению обратной матрицы , то уравнение принимает вид или . (1.9)

Таким образом, чтобы решить квадратную систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.3. Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

. Следовательно, матрица невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :

Запишем алгебраические дополнения транспонированно в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая матрица называется вырожденной, невырожденной?

2. Какая матрица называется обратной для заданной? Каково условие ее существования?

3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы для заданной?

4. Какому матричному уравнению эквивалентна система линейных алгебраических уравнений?

5. Как решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы для главной матрицы системы?

Исследование неоднородных систем линейных алгебраических уравнений (схема 5)

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса. Пусть размерность главной матрицы системы равна .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна .

Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях , к которым относятся:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, т. е.

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через (соответственно, в системе остается уравнений). Эти строки матрицы называются базисными .

Если , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить методом Крамера, с помощью обратной матрицы или универсальным методом Гаусса.

Если (количество переменных в системе больше чем уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы неизвестных (базисные переменные ), остальные неизвестных перенести в правые части (свободные переменные ). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

. (1.10)

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор ), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных заменить на свободную; полученный базисный минор проверить на отличность от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением .

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из элементов по элементов . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, базисных решений у системы также.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю. Это означает, что ранг ее главной матрицы меньше числа неизвестных . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.4.

Исследовать заданную систему и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

. Так как и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных , т. е. , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно

. Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: . Рассмотрим один из них . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде

. Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы. Вспомогательные определители

По формулам (1.6) имеем

. Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных . При получаем базисное решение системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая система уравнений называется однородной, неоднородной?

2. Какая матрица называется расширенной?

3. Перечислите основные элементарные преобразования матриц. Какой метод решения систем линейных уравнений основан на этих преобразованиях?

4. Что называется рангом матрицы? Каким способом можно его вычислить?

5. О чем говорит теорема Кронекера-Капелли?

6. К какому виду может быть приведена система линейных алгебраических уравнений в результате ее решения методом Гаусса? Что это означает?

7. Какие строки матрицы называются базисными?

8. Какие переменные системы называются базисными, какие свободными?

9. Какое решение неоднородной системы называется частным?

10.Какое ее решение называется базисным? Сколько базисных решений имеет неоднородная система линейных уравнений?

11.Какое решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений называется общим? Сформулируйте теорему об общем решении неоднородной системы уравнений.

12. Каковы основные свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений?

Точки в пространстве, произведение Rv даёт другой вектор, который определяет положение точки после вращения. Если v - вектор-строка , такое же преобразование можно получить, используя vR T , где R T - транспонированная к R матрица.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олимпиада - Квадратная спираль

Матрица: определение и основные понятия

Где брать силы и вдохновения Подзарядка 4 квадратной матрицы

Сумма и разность матриц, умножение матрицы на число

Транспонована матриця / Транспонированная матрица

Субтитры

Главная диагональ

Элементы a ii (i = 1, ..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицы. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной .

Специальные виды

Название	Пример с n = 3
Диагональная матрица	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}
Нижняя треугольная матрица	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}
Верхняя треугольная матрица	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}

Диагональные и треугольные матрицы

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной . Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей .

Единичная матрица

Q (x ) = x T Ax

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те, и другие). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределена.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны. Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму , связанную с A :

B A (x , y ) = x T Ay .

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица - это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т. е. ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная которой равна транспонированной:

A T = A − 1 , {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},}

откуда вытекает

A T A = A A T = E {\displaystyle A^{T}A=AA^{T}=E} ,

Ортогональная матрица A всегда обратима (A −1 = A T), унитарна (A −1 = A *), и нормальна (A *A = AA *). Определитель любой ортонормальной матрицы равен либо +1, либо −1. В качестве линейного отображения любая ортонормальная матрица с определителем +1 является простым поворотом , в то время как любая любая ортонормальная матрица с определителем −1 является либо простым отражением , либо композицией отражения и поворота.

Операции

След

Определитель det(A ) или |A | квадратной матрицы A - это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда , когда её определитель ненулевой.