Как найти массу маятника. Математический маятник: период, ускорение и формулы

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название - осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Общие сведения о механической системе

Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Этот современник И. Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом. Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки. Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» - время, «изос» - равный).

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период собственных колебаний. Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

Период малых ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Колебания математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

x + ω2 sin x = 0,

где х (t) - неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω - положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g - это ускорение свободного падения, а L - длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

x + ω2 sin x = 0

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

x = A sin (θ 0 + ωt),

где θ 0 - начальная фаза, A - амплитуда колебания, ω - циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn - синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

где ε = E/mL2 (mL2 - энергия маятника).

Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:

где Ω = π/2 * ω/2K(u), K - эллиптический интеграл, π - 3,14.

Движение маятника по сепаратрисе

Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.

Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π , это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.

При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = -mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон предназначенный для проекций и силы, даст искомое значение:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Исходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.

Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15-20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.

Закон Ньютона для малых колебаний маятника

Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Исходя из этого, можно заключить, что математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Вычисления на основе закона сохранения энергии

Свойства маятника можно описать и при помощи закона сохранения энергии. При этом следует учитывать, что маятника в поле тяжести равняется:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Полная равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = E

После того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:

Поскольку производная от постоянных величин равняется 0, то (Ep + Ek)" = 0. Производная суммы равняется сумме производных:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/2*2v*v" = mv* α,

следовательно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Исходя из последней формулы находим: α = - g/L*x.

Практическое применение математического маятника

Ускорение изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.

Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии. Свою работу с маятником сотрудники этого заведения называют «радиэстезией».

Период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается

Для математического маятника выполняются некоторые законы:

1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..

Давайте выведем формулу периода математического маятника.

На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:

С проецируем все на ось ОХ:

При малых углах

Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период математического маятника будет равен:

Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p

Так же есть:

Период пружинного маятника

Период физического маятника

Период крутильного маятника

Что собой представляет математический маятник?

Из предыдущих уроков вы уже должны знать, что под маятником, как правило, подразумевают тело, которое совершает колебания под действием гравитационного взаимодействия. То есть, можно сказать, что в физике, под этим понятием, принято считать твердое тело, которое под действием силы тяжести совершает колебательные движения, которые происходят вокруг неподвижной точки или оси.

Принцип действия математического маятника

А теперь давайте рассмотрим принцип действия математического маятника и узнаем, в чем он заключается.

Принципом действия математического маятника является то, что при отклонении от положения равновесия материальной точки на незначительный угол a, то есть такой угол, при котором бы выполнялось условие sina=a, то на тело будет действовать сила F = -mgsina = -mga.

Мы с вами видим, что сила F имеет отрицательный показатель, а из этого следует, что знак минус говорит нам о том, что данная сила направлена в ту сторону, которая является противоположной смещению. А так как сила F пропорциональна смещению S, то из этого следует, что под действием такой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания.

Свойства маятника

Если взять любой другой маятник, то у него период колебаний зависит от очень многих факторов. К таким факторам можно отнести:

Во-первых, размер и форму тела;
Во-вторых, расстояние, которое существует между точкой подвеса и центром тяжести;
В-третьих, также и распределение массы тела относительно данной точки.

Вот в связи с этими различными обстоятельствами маятников, определить период висящего тела, довольно таки сложно.

А если брать математический маятник, то он обладает всеми теми свойствами, которые можно доказать с помощью известных физических законов и его период можно легко рассчитать с помощью формулы.

Проведя много различных наблюдений над такими механическими системами, физикам удалось определить такие закономерности, как:

Во-первых, период маятника не зависит от массы груза. То есть, если при одинаковой длине маятника, мы будем к нему подвешивать грузы, которые имеют разную массу, то период их колебаний все равно получится одинаковым, даже если их массы будут иметь довольно таки разительные отличия.

Во-вторых, если мы будем при запуске системы отклонять маятник на небольшие, но при этом разные углы, то его колебания будут иметь одинаковый период, но амплитуды будут разными. При небольших отклонениях от центра равновесия, колебания по своей форме будут иметь почти гармонический характер. То есть, можно сказать, что период такого маятника не зависит от амплитуды колебаний. В переводе с греческого языка такое свойство этой механической системы носит название изохронизма, где «изос» обозначает равный, ну, а «хронос» - это время.

Практическое использование колебаний маятника

Математический маятник для различных исследований используют физики, астрономы, геодезисты и другие научные работники. С помощью такого маятника занимаются поиском полезных ископаемых. Наблюдая за ускорением математического маятника и подсчитав число его колебаний можно найти залежи каменного угля и руды в недрах нашей Земли.

К. Фламмарион, знаменитый французский астроном и естествоиспытатель, утверждал, что с помощью математического маятника ему удалось совершить много важных открытий, среди которых появление Тунгусского метеорита и открытие новой планеты.

В наше время многие экстрасенсы и оккультисты используют такую механическую систему для поиска пропавших людей и пророческих предсказаний.

Математический маят­ник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерас­тяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный ма­ятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присо­единенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется урав­нением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

Свободные колебания любых систем во всех слу­чаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математическо­го маятника являются:

1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, пре­пятствующей его смещению из положения равновесия и заставляю­щей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического ма­ятника

Период свободных колебаний математического маятника не за­висит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Превращение энергии при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях пружинного маятника проис­ходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из поло­жения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соот­ветствии с уравнением гармонических колебаний:

, .

Полная энергия пружинного маятника:

.

Полная энергия для математического маятника:

В случае математического маятника

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая - уменьшается. Когда маятник проходит положение равно­весия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями . Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периоди­ческой силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы υ 0 , происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынужда­ющей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

Определение

Математический маятник - это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник - классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

где $\varphi $ - угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

\[\varphi (t)={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ }\]

где $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора - это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

\[\ {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(3\right).\]

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ - кинетическая энергия маятника; $E_p$ - потенциальная энергия маятника; $v$ - скорость движения маятника; $x$ - линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол - смещение связан с $x$ как:

\[\varphi =\frac{x}{l}\left(6\right).\]

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ - максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={\omega }_0x_m$ - максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

\[\frac{mv^2}{2}=mgh\ \left(1.1\right).\]

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=\frac{v^2}{2g}$

Пример 2

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87\ \frac{м}{с^2}$