Числителем, а то, на которое делят - знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби . Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

• Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

• - калькулятор

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби , надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
- Переведение дробей в неправильный вид:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Вы знаете, что, кроме натуральных чисел и нуля, существуют и другие числа − дробные .

Дробные числа возникают, когда один предмет (яблоко, арбуз, торт, буханку хлеба, лист бумаги) или единицу измерения (метр, час, килограмм, градус) делят на несколько равных частей.

Такие слова, как "полхлеба", "полбатона", "полкилограмма", "пол−литра", "четверть часа", "треть пути", "полтора метра", наверное, вы слышите каждый день.

Половина, четверть, треть, одна сотая, полтора − это примеры дробных чисел.

Рассмотрим пример.

На день рождения к вам в гости пришли 10 друзей. Праздничный торт был разделен на 10 равных частей (рис. 185 ). Тогда каждому гостю досталась одна десятая торта. Пишут:

Торта (читают: "одна десятая торта").

Такую "двухэтажную" запись используют для обозначения и других дробных чисел. Например: полкилограмма −

Кг (читают: "одна вторая килограмма"); четверть часа −

Ч (читают: "одна четвертая часа"); треть пути −

Пути (читают: "одна третья пути").

Если двое ваших гостей не любят сладкого, то сладкоежке достанется

Торта (читают: "три десятых торта"; рис. 186 ).

Записи вида

; ; ; ;

И т.п. называют обыкновенными дробями или короче − дробями .

Обыкновенные дроби записывают с помощью двух натуральных чисел и черты дроби .

Число, записанное над чертой, называют числителем дроби ; число, записанное под чертой, называют знаменатель дроби .

Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили нечто целое, а числитель − сколько таких частей взяли .

Так на рисунке 187 равносторонний треугольник ABC разделили на 4 равные части − 4 равных треугольника. Три из них закрашены. Можно сказать, что закрашены фигура, площадь которой составляет

Площади треугольника ABC. Или говорят: закрашено

Треугольника ABC.

На рисунке 188 единичный отрезок OA координатного луча разделен на пять равных частей. Отрезок OB составляет

Единичного отрезка OA. Точка B изображает число

Число

Называют координатой точки B и пишут B (

). Поскольку отрезок OC составляет

Единичного отрезка OA, то координата точки C равна

Т.е. C (

Пример 1 . В саду растут 24 дерева, из них 7 − яблони. Какую часть всех деревьев составляют яблони?

Решение. Поскольку в саду растет 24 дерева, то одна яблоня составляет

Всех деревьев, а 7 яблонь −

Всех деревьев. .

Пример 2 . В саду растут 24 дерева, из них

Составляют вишни. Сколько вишневых деревьев растет в саду?

Решение. Знаменатель дроби

Показывает, что количество всех деревьев, растущих в саду, надо разделить на 8 равных частей. Поскольку в саду растут 24 дерева, то одна часть составляет 24 : 8 = 3 (дерева).

Числитель дроби3, то всего в саду растет 8 * 3 = 24 (дерева).

Ответ: 24 дерева.

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

1 Что такое обыкновенные дроби. Виды дробей.
Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д. Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.

Для начала нужно сказать, что вообще дробей бывает два вида: обыкновенные дроби и десятичные дроби. Обыкновенные дроби записываются так:
Десятичные дроби записываются по другому:

Обыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель. Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:

Любая дробь - это часть целого . За целое обычно принимают 1 (единицу). Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1 ), а числитель - сколько частей взяли. Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей (в математике говорят долей ), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 .

С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд дроби записываются обычно так: 2/3, 1/2 и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть»
А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.

2 Виды обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные:

Правильная дробь

Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной, например: Правильная дробь всегда меньше 1.

Неправильная дробь

Если числитель больше, чем знаменатель или равен знаменателю, такая дробь называется неправильной , например:

Неправильная дробь больше единицы(если числитель больше знаменателя) или равна единице (если числитель равен знаменателю)

Смешанная дробь

Если дробь состоит из целого числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной , например:

Смешанная дробь всегда больше единицы.

3 Преобразования дробей

В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления.

Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную . Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:

Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком).Полученное число будет целой частью, а остаток - числителем дробной части, например:

При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби».

Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 , например:

Поговорим о том, как сравнивать дроби.

4 Сравнение дробей

При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например:

Сравнение смешанных и неправильных дробей с правильными дробями

Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например:

Сравнение двух смешанных дробей

При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например:

Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например:

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.

5 Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.

Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели . Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби.

У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом не изменится :

Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби :

Сократить дробь - значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число (смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:

Чаще же в тетради сокращают дробь так:

Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя. Пример:

Нужно сначала преобразовать сумму в множитель:

Иногда, при работе с большими числами, для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел - это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.

Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь:

Найдем НОД чисел 96 и 36:

НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь.

Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей.Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак:

6 Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей.

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15.

7 Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части:

Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно:

Аналогично вычитаем из целого числа дробь :

Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь , мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители):

При вычитании действуем аналогично:

Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части:

8 Умножение и деление дробей.

Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей:

Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере.

Чтобы разделить дробь на натуральное число , нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений:

Например:

Деление дроби на дробь

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь?

Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами:

Например, числа - взаимно обратные, так как

Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю :

Например:

При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби:

При умножении и делении дробей на целые натуральные числа , можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1 .

И при делении целого числа на дробь представляем это число в виде дроби со знаменателем 1 :

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Обыкновенная (или простая ) дробь - запись рационального числа в виде ± m n {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} или ± m / n , {\displaystyle \pm m/n,} где n ≠ 0. {\displaystyle n\neq 0.} Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель - знаменателем .

  Обозначения обыкновенных дробей

  Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  Правильные и неправильные дроби

  Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной , и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

  Например, дроби 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} , 7 8 {\displaystyle {\frac {7}{8}}} и - правильные дроби, в то время как 8 3 {\displaystyle {\frac {8}{3}}} , 9 5 {\displaystyle {\frac {9}{5}}} , 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} и 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} - неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

  Смешанные дроби

  Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой .

  Например, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 {\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}} . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

  Составные дроби

  Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже - наклонных) черт:

  1 2 / 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}} или 1 / 2 1 / 3 {\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}} или 12 3 4 26 {\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}

  Десятичные дроби

  Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

  ± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … {\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }

  Пример: 3,141 5926 {\displaystyle 3{,}1415926} .

  Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой - дробной частью . Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью .

  Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

  Значение дроби и основное свойство дроби

  Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

  0 , 999... = 1 {\displaystyle 0,999...=1} - две разные дроби соответствуют одному числу.

  Действия с дробями

  В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь .

  Приведение к общему знаменателю

  Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести ) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} и c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} . Порядок действий:

  После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

  Сравнение

  Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

  Пример. Сравниваем 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} и 4 5 {\displaystyle {\frac {4}{5}}} . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

  3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 {\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}

  Следовательно, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

  Сложение и вычитание

  Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
  

  1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} + = + = 5 6 {\displaystyle {\frac {5}{6}}}

  НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
  Получилось 3 6 {\displaystyle {\frac {3}{6}}} . Приводим дробь 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} .
  Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
  

  1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} - = - 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}

  НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} .

  Умножение и деление

  Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

  a b ⋅ c d = a c b d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}

  В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

  2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}

  В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

  5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . {\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}

  Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

  a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad c\neq 0.}

  Например,

  1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}

  Преобразование между разными форматами записи

  Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной